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Sage sa svolgere diversi calcoli legati all'algebra di base ed all'analisi: per esempio, risoluzione di equazioni, calcolo differenziale ed integrale e trasformate di Laplace. Si veda la documentazione per le "Costruzioni di Sage" per ulteriori esempi.
Risoluzione di equazioni
La funzione solve risolve le equazioni. Per usarla, bisogna anzitutto specificare alcune variabili; pertanto gli argomenti di solve sono un'equazione (od un sistema di equazioni), insieme con le variabili rispetto alle quali risolvere:
sage: x = var('x')
sage: solve(x^2 + 3*x + 2, x)
[x == -2, x == -1]Si possono risolvere le equazioni rispetto ad una variabile in funzione delle altre:
sage: x, b, c = var('x b c')
sage: solve([x^2 + b*x + c == 0],x)
[x == (-sqrt(b^2 - 4*c) - b)/2, x == (sqrt(b^2 - 4*c) - b)/2]Si può anche risolvere rispetto a diverse variabili:
sage: x, y = var('x, y')
sage: solve([x+y==6, x-y==4], x, y)
[[x == 5, y == 1]]Il seguente esempio dell'uso di Sage per risolvere un sistema di equazioni non lineari è stato fornito da Jason Grout: per prima cosa, si risolve il sistema simbolicamente:
sage: var('x y p q')
(x, y, p, q)
sage: eq1 = p+q==9
sage: eq2 = q*y+p*x==-6
sage: eq3 = q*y^2+p*x^2==24
sage: solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y)
[[p == 1, q == 8, x == (-4*sqrt(10) - 2)/3, y == (sqrt(2)*sqrt(5) - 4)/6],
[p == 1, q == 8, x == (4*sqrt(10) - 2)/3, y == (-sqrt(2)*sqrt(5) - 4)/6]]Per una soluzione numerica, si può invece usare:
sage: solns = solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y, solution_dict=True) sage: [[s[p].n(30), s[q].n(30), s[x].n(30), s[y].n(30)] for s in solns] [[1.0000000, 8.0000000, -4.8830369, -0.13962039], [1.0000000, 8.0000000, 3.5497035, -1.1937129]]
(La funzione n scrive un'approssimazione numerica, e l'argomento è il numero di bit di precisione.)
Differenziazione, Integrazione, etc.
Sage è in grado di differenziae ed integrare molte funzioni. Per esempio, per differenziare sin(u) rispetto a u, si procede come nelle righe seguenti:
sage: u = var('u')
sage: diff(sin(u), u)
cos(u)Per calcolare la derivata quarta di sin(x2):
sage: diff(sin(x^2), x, 4) 16*x^4*sin(x^2) - 12*sin(x^2) - 48*x^2*cos(x^2)
Per calcolare le derivate parziali di x2 + 17y2 rispetto a x e y, rispettivamente:
sage: x, y = var('x,y')
sage: f = x^2 + 17*y^2
sage: f.diff(x)
2*x
sage: f.diff(y)
34*yPassiamo agli integrali, sia indefiniti che definiti. Per calcolare ∫xsin(x2) dx e ∫10(x)/(x2 + 1) dx
sage: integral(x*sin(x^2), x) -cos(x^2)/2 sage: integral(x/(x^2+1), x, 0, 1) log(2)/2
Per calcolare la decomposizione in frazioni parziali di (1)/(x2 − 1):
sage: f = 1/((1+x)*(x-1))
sage: f.partial_fraction(x)
1/(2*(x - 1)) - 1/(2*(x + 1))
sage: print f.partial_fraction(x)
1 1
--------- - ---------
2 (x - 1) 2 (x + 1)Risoluzione di Equazioni Differenziali
Si può usare Sage per studiare le equazioni differenziali ordinarie. Per risolvere l'equazione x’ + x − 1 = 0:
sage: t = var('t') # definisce una variabile t
sage: x = function('x',t) # definisce x come funzione di quella variabile
sage: DE = lambda y: diff(y,t) + y - 1
sage: desolve(DE(x(t)), [x,t])
'%e^-t*(%e^t+%c)'Questo metodo utilizza l'interfaccia di Sage per Maxima [Max], e così il suo output può essere leggermente diverso dagli altri output di Sage. In questo caso, risulta che la soluzione generale dell'equazione differenziale è x(t) = e − t(et + c).
Si può anche calcolare la trasformata di Laplace; la trasformata di Laplace di t2et − sin(t) è calcolata come segue:
sage: s = var("s")
sage: t = var("t")
sage: f = t^2*exp(t) - sin(t)
sage: f.laplace(t,s)
2/(s - 1)^3 - 1/(s^2 + 1)Il successivo è un esempio più articolato. Lo scostamento dall'equilibrio (rispettivamente) per due molle accoppiate fissate ad un muro a sinistra
|------\/\/\/\/\---|massa1|----\/\/\/\/\/----|massa2|
molla1 molla2è modellizzato dal sistema di equazioni differenziali del secondo ordine
dove mi è la massa dell'oggetto i, xi è lo scostamento dall'equilibrio della massa i, e ki è la costante elastica della molla i.
Esempio: Usare Sage per risolvere il problema precedente con m1 = 2, m2 = 1, k1 = 4, k2 = 2, x1(0) = 3, x1’(0) = 0, x2(0) = 3, x2’(0) = 0.
Soluzione: Calcolare la trasformata di Laplace della prima equazione (con la notazione x = x1, y = x2:
sage: de1 = maxima("2*diff(x(t),t, 2) + 6*x(t) - 2*y(t)")
sage: lde1 = de1.laplace("t","s"); lde1
2*(-?%at('diff(x(t),t,1),t=0)+s^2*?%laplace(x(t),t,s)-x(0)*s)-2*?%laplace(y(t),t,s)+6*?%laplace(x(t),t,s)Questo è di difficile lettura, ma dice che
(dove la trasformata di Laplace di una funzione in minuscolo come x(t) è la funzione in maiuscolo X(s)). Calcolare la trasformata di Laplace della seconda equazione:
sage: de2 = maxima("diff(y(t),t, 2) + 2*y(t) - 2*x(t)")
sage: lde2 = de2.laplace("t","s"); lde2
-?%at('diff(y(t),t,1),t=0)+s^2*?%laplace(y(t),t,s)+2*?%laplace(y(t),t,s)-2*?%laplace(x(t),t,s)-y(0)*sche significa
Imporre le condizioni iniziali per x(0), x’(0), y(0), e y’(0), e risolvere le due equazioni risultanti:
sage: var('s X Y')
(s, X, Y)
sage: eqns = [(2*s^2+6)*X-2*Y == 6*s, -2*X +(s^2+2)*Y == 3*s]
sage: solve(eqns, X,Y)
[[X == (3*s^3 + 9*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),
Y == (3*s^3 + 15*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4)]]Ora si calcola la trasformata inversa di Laplace per ottenere la risposta:
sage: var('s t')
(s, t)
sage: inverse_laplace((3*s^3 + 9*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)
cos(2*t) + 2*cos(t)
sage: inverse_laplace((3*s^3 + 15*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)
4*cos(t) - cos(2*t)Pertanto, la soluzione è
Essa può essere disegnata in forma parametrica usando
sage: t = var('t')
sage: P = parametric_plot((cos(2*t) + 2*cos(t), 4*cos(t) - cos(2*t) ),\
... 0, 2*pi, rgbcolor=hue(0.9))
sage: show(P)Le singole componenti possono essere tracciate usando:
sage: t = var('t')
sage: p1 = plot(cos(2*t) + 2*cos(t), 0, 2*pi, rgbcolor=hue(0.3))
sage: p2 = plot(4*cos(t) - cos(2*t), 0, 2*pi, rgbcolor=hue(0.6))
sage: show(p1 + p2)(Per ulteriori informazioni sul disegno di funzioni, si veda :ref:`section-plot`.)
BIBLIOGRAFIA: Nagle, Saff, Snider, Fundamentals of Differential Equations, 6th ed, Addison-Wesley, 2004. (si veda § 5.5).
Metodo di Eulero per i sistemi di equazioni differenziali
Nel prossimo esempio, si illustrerà il metodo di Eulero per le ODE di primo e secondo ordine. Per prima cosa ricordiamo l'idea di base per le equazioni di primo ordine. Dato un problema di Cauchy della forma
si vuole trovare il valore approssimato della soluzione a x = b con b > a.
Ricordando dalla definizione di derivata che
dove h > 0 è dato e piccolo. Questo e la DE insieme danno give f(x, y(x)) ≈ (y(x + h) − y(x))/(h). Ora si risolve per y(x + h):
Se chiamiamo hf(x, y(x)) il "termine di correzione" (per mancanza di un termine migliore), y(x) il "vecchio valore di y", e
y(x + h) il "nuovo valore di y", allora questa
approssimazione può essere espressa come
Se si spezza l'intervallo da a a b in n intervalli, dimodoché h = (b − a)/(n), allora si possono registrare le informazioni per questo metodo in una tabella.
| x | y | hf(x, y) |
|---|---|---|
| a | c | hf(a, c) |
| a + h | c + hf(a, c) | ... |
| a + 2h | ... | |
| ... | ||
| b = a + nh | ??? | ... |
L'obiettivo è riempire tutti gli spazi vuoti della tavella, una riga alla volta, finché si arriva al valore ???, che è il metodo di approssimazione di Eulero per y(b).
L'idea per sistemi di ODE è simile.
Esempio: Si approssimi numericamente z(t) a t = 1 usando 4 passi del metodo di Eulero, dove z’’ + tz’ + z = 0, z(0) = 1, z’(0) = 0.
Si deve ridurre l'ODE di secondo ordine ad un sistema di due equazioni del primo ordine (usando x = z, y = z’) ed applicare il metodo di Eulero:
sage: t,x,y = PolynomialRing(RealField(10),3,"txy").gens()
sage: f = y; g = -x - y * t
sage: eulers_method_2x2(f,g, 0, 1, 0, 1/4, 1)
t x h*f(t,x,y) y h*g(t,x,y)
0 1 0.00 0 -0.25
1/4 1.0 -0.062 -0.25 -0.23
1/2 0.94 -0.12 -0.48 -0.17
3/4 0.82 -0.16 -0.66 -0.081
1 0.65 -0.18 -0.74 0.022Pertanto, z(1) ≈ 0.75.
Si possono anche tracciare i punti (x, y) per ottenere un grafico approssimato della curva. La funzione eulers_method_2x2_plot svolge questa funzione; per usarla, bisogna definire le funzioni f e g che prendono on argomento con tre coordinate: (t, x, y).
sage: f = lambda z: z[2] # f(t,x,y) = y sage: g = lambda z: -sin(z[1]) # g(t,x,y) = -sin(x) sage: P = eulers_method_2x2_plot(f,g, 0.0, 0.75, 0.0, 0.1, 1.0)
A questo punto, P ha in memoria due grafici: P[0], il grafico di x vs. t, e P[1], il grafico di y vs. t. Si possono tracciare entrambi come mostrato qui in seguito:
sage: show(P[0] + P[1])
(Per ulteriori informazioni sul disegno di grafici, si veda :ref:`section-plot`.)
Funzioni speciali
Sono implementati diversi polinomi ortogonali e funzioni speciali, usando sia PARI [GAP] che Maxima [Max]. Essi sono documentati nelle sezioni apposite ("Polinomi ortogonali" e "Funzioni speciali", rispettivamente) del manuale di Sage.
sage: x = polygen(QQ, 'x') sage: chebyshev_U(2,x) 4*x^2 - 1 sage: bessel_I(1,1,"pari",250) 0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096 sage: bessel_I(1,1) 0.565159103992485 sage: bessel_I(2,1.1,"maxima") # le ultime poche cifre sono casuali 0.16708949925104899
A questo punto, Sage ha soltanto incorporato queste funzioni per l'uso numerico. Per l'uso simbolico, si usi direttamente l'intefaccia di Maxima, come nell'esempio seguente:
sage: maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
'?%bessel_y(v,w)'
sage: maxima.eval("diff(f,w)")
'(?%bessel_y(v-1,w)-?%bessel_y(v+1,w))/2'| [GAP] | (en) The GAP Group, GAP - Groups, Algorithms, and Programming, http://www.gap-system.org |
| [Max] | (1, 2) (en) Maxima, http://maxima.sf.net/ |
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