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Algebra di base e Analisi
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Sage sa svolgere diversi calcoli legati all'algebra di base
ed all'analisi: per esempio, risoluzione di equazioni,
calcolo differenziale ed integrale e trasformate di Laplace.
Si veda la documentazione per le "Costruzioni di Sage" per
ulteriori esempi.
Risoluzione di equazioni
------------------------
La funzione ``solve`` risolve le equazioni. Per usarla,
bisogna anzitutto specificare alcune variabili; pertanto
gli argomenti di ``solve`` sono un'equazione (od un sistema
di equazioni), insieme con le variabili rispetto alle quali
risolvere:
::
sage: x = var('x')
sage: solve(x^2 + 3*x + 2, x)
[x == -2, x == -1]
Si possono risolvere le equazioni rispetto ad una variabile in funzione
delle altre:
::
sage: x, b, c = var('x b c')
sage: solve([x^2 + b*x + c == 0],x)
[x == (-sqrt(b^2 - 4*c) - b)/2, x == (sqrt(b^2 - 4*c) - b)/2]
Si può anche risolvere rispetto a diverse variabili:
::
sage: x, y = var('x, y')
sage: solve([x+y==6, x-y==4], x, y)
[[x == 5, y == 1]]
Il seguente esempio dell'uso di Sage per risolvere un sistema di
equazioni non lineari è stato fornito da Jason Grout: per prima cosa,
si risolve il sistema simbolicamente:
::
sage: var('x y p q')
(x, y, p, q)
sage: eq1 = p+q==9
sage: eq2 = q*y+p*x==-6
sage: eq3 = q*y^2+p*x^2==24
sage: solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y)
[[p == 1, q == 8, x == (-4*sqrt(10) - 2)/3, y == (sqrt(2)*sqrt(5) - 4)/6],
[p == 1, q == 8, x == (4*sqrt(10) - 2)/3, y == (-sqrt(2)*sqrt(5) - 4)/6]]
Per una soluzione numerica, si può invece usare:
.. link
::
sage: solns = solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y, solution_dict=True)
sage: [[s[p].n(30), s[q].n(30), s[x].n(30), s[y].n(30)] for s in solns]
[[1.0000000, 8.0000000, -4.8830369, -0.13962039],
[1.0000000, 8.0000000, 3.5497035, -1.1937129]]
(La funzione ``n`` scrive un'approssimazione numerica, e
l'argomento è il numero di bit di precisione.)
Differenziazione, Integrazione, etc.
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Sage è in grado di differenziae ed integrare molte funzioni. Per
esempio, per differenziare :math:`\sin(u)` rispetto a :math:`u`,
si procede come nelle righe seguenti:
::
sage: u = var('u')
sage: diff(sin(u), u)
cos(u)
Per calcolare la derivata quarta di :math:`\sin(x^2)`:
::
sage: diff(sin(x^2), x, 4)
16*x^4*sin(x^2) - 12*sin(x^2) - 48*x^2*cos(x^2)
Per calcolare le derivate parziali di :math:`x^2+17y^2`
rispetto a *x* e *y*, rispettivamente:
::
sage: x, y = var('x,y')
sage: f = x^2 + 17*y^2
sage: f.diff(x)
2*x
sage: f.diff(y)
34*y
Passiamo agli integrali, sia indefiniti che definiti. Per calcolare
:math:`\int x\sin(x^2)\, dx` e
:math:`\int_0^1 \frac{x}{x^2+1}\, dx`
::
sage: integral(x*sin(x^2), x)
-cos(x^2)/2
sage: integral(x/(x^2+1), x, 0, 1)
log(2)/2
Per calcolare la decomposizione in frazioni parziali di
:math:`\frac{1}{x^2-1}`:
::
sage: f = 1/((1+x)*(x-1))
sage: f.partial_fraction(x)
1/(2*(x - 1)) - 1/(2*(x + 1))
sage: print f.partial_fraction(x)
1 1
--------- - ---------
2 (x - 1) 2 (x + 1)
.. _section-systems:
Risoluzione di Equazioni Differenziali
--------------------------------------
Si può usare Sage per studiare le equazioni differenziali ordinarie.
Per risolvere l'equazione :math:`x'+x-1=0`:
::
sage: t = var('t') # definisce una variabile t
sage: x = function('x',t) # definisce x come funzione di quella variabile
sage: DE = lambda y: diff(y,t) + y - 1
sage: desolve(DE(x(t)), [x,t])
'%e^-t*(%e^t+%c)'
Questo metodo utilizza l'interfaccia di Sage per Maxima [Max]_, e così il suo
output può essere leggermente diverso dagli altri output di Sage. In questo caso,
risulta che la soluzione generale dell'equazione differenziale è
:math:`x(t) = e^{-t}(e^{t}+c)`.
Si può anche calcolare la trasformata di Laplace; la trasformata di Laplace di
:math:`t^2e^t -\sin(t)` è calcolata come segue:
::
sage: s = var("s")
sage: t = var("t")
sage: f = t^2*exp(t) - sin(t)
sage: f.laplace(t,s)
2/(s - 1)^3 - 1/(s^2 + 1)
Il successivo è un esempio più articolato. Lo scostamento dall'equilibrio
(rispettivamente) per due molle accoppiate fissate ad un muro a sinistra
::
|------\/\/\/\/\---|massa1|----\/\/\/\/\/----|massa2|
molla1 molla2
è modellizzato dal sistema di equazioni differenziali del secondo ordine
.. math::
m_1 x_1'' + (k_1+k_2) x_1 - k_2 x_2 = 0
m_2 x_2''+ k_2 (x_2-x_1) = 0,
dove :math:`m_{i}` è la massa dell'oggetto *i*, :math:`x_{i}` è
lo scostamento dall'equilibrio della massa *i*, e :math:`k_{i}`
è la costante elastica della molla *i*.
**Esempio:** Usare Sage per risolvere il problema precedente con
:math:`m_{1}=2`, :math:`m_{2}=1`, :math:`k_{1}=4`,
:math:`k_{2}=2`, :math:`x_{1}(0)=3`, :math:`x_{1}'(0)=0`,
:math:`x_{2}(0)=3`, :math:`x_{2}'(0)=0`.
Soluzione: Calcolare la trasformata di Laplace della prima equazione (con
la notazione :math:`x=x_{1}`, :math:`y=x_{2}`:
::
sage: de1 = maxima("2*diff(x(t),t, 2) + 6*x(t) - 2*y(t)")
sage: lde1 = de1.laplace("t","s"); lde1
2*(-?%at('diff(x(t),t,1),t=0)+s^2*?%laplace(x(t),t,s)-x(0)*s)-2*?%laplace(y(t),t,s)+6*?%laplace(x(t),t,s)
Questo è di difficile lettura, ma dice che
.. math:: -2x'(0) + 2s^2*X(s) - 2sx(0) - 2Y(s) + 6X(s) = 0
(dove la trasformata di Laplace di una funzione in minuscolo come
:math:`x(t)` è la funzione in maiuscolo :math:`X(s)`). Calcolare la
trasformata di Laplace della seconda equazione:
::
sage: de2 = maxima("diff(y(t),t, 2) + 2*y(t) - 2*x(t)")
sage: lde2 = de2.laplace("t","s"); lde2
-?%at('diff(y(t),t,1),t=0)+s^2*?%laplace(y(t),t,s)+2*?%laplace(y(t),t,s)-2*?%laplace(x(t),t,s)-y(0)*s
che significa
.. math:: -Y'(0) + s^2Y(s) + 2Y(s) - 2X(s) - sy(0) = 0.
Imporre le condizioni iniziali per :math:`x(0)`, :math:`x'(0)`,
:math:`y(0)`, e :math:`y'(0)`, e risolvere le due equazioni
risultanti:
::
sage: var('s X Y')
(s, X, Y)
sage: eqns = [(2*s^2+6)*X-2*Y == 6*s, -2*X +(s^2+2)*Y == 3*s]
sage: solve(eqns, X,Y)
[[X == (3*s^3 + 9*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),
Y == (3*s^3 + 15*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4)]]
Ora si calcola la trasformata inversa di Laplace per ottenere la risposta:
::
sage: var('s t')
(s, t)
sage: inverse_laplace((3*s^3 + 9*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)
cos(2*t) + 2*cos(t)
sage: inverse_laplace((3*s^3 + 15*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t)
4*cos(t) - cos(2*t)
Pertanto, la soluzione è
.. math:: x_1(t) = \cos(2t) + 2\cos(t), \quad x_2(t) = 4\cos(t) - \cos(2t).
Essa può essere disegnata in forma parametrica usando
::
sage: t = var('t')
sage: P = parametric_plot((cos(2*t) + 2*cos(t), 4*cos(t) - cos(2*t) ),\
... 0, 2*pi, rgbcolor=hue(0.9))
sage: show(P)
Le singole componenti possono essere tracciate usando:
::
sage: t = var('t')
sage: p1 = plot(cos(2*t) + 2*cos(t), 0, 2*pi, rgbcolor=hue(0.3))
sage: p2 = plot(4*cos(t) - cos(2*t), 0, 2*pi, rgbcolor=hue(0.6))
sage: show(p1 + p2)
(Per ulteriori informazioni sul disegno di funzioni, si veda :ref:`section-plot`.)
BIBLIOGRAFIA: Nagle, Saff, Snider, Fundamentals of Differential
Equations, 6th ed, Addison-Wesley, 2004. (si veda § 5.5).
Metodo di Eulero per i sistemi di equazioni differenziali
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Nel prossimo esempio, si illustrerà il metodo di Eulero per le ODE
di primo e secondo ordine. Per prima cosa ricordiamo l'idea di base per
le equazioni di primo ordine. Dato un problema di Cauchy della forma
.. math::
y'=f(x,y)
y(a)=c
si vuole trovare il valore approssimato della soluzione a
:math:`x=b` con :math:`b>a`.
Ricordando dalla definizione di derivata che
.. math:: y'(x) \approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h},
dove :math:`h>0` è dato e piccolo. Questo e la DE insieme danno
give :math:`f(x,y(x))\approx
\frac{y(x+h)-y(x)}{h}`. Ora si risolve
per :math:`y(x+h)`:
.. math:: y(x+h) \approx y(x) + h*f(x,y(x)).
Se chiamiamo :math:`h f(x,y(x))` il "termine di correzione" (per mancanza
di un termine migliore), :math:`y(x)` il "vecchio valore di *y*", e
:math:`y(x+h)` il "nuovo valore di *y*", allora questa
approssimazione può essere espressa come
.. math:: y_{new} \approx y_{old} + h*f(x,y_{old}).
Se si spezza l'intervallo da *a* a *b* in *n* intervalli, dimodoché
:math:`h=\frac{b-a}{n}`, allora si possono registrare le informazioni per
questo metodo in una tabella.
============== ================== ================
:math:`x` :math:`y` :math:`hf(x,y)`
============== ================== ================
:math:`a` :math:`c` :math:`hf(a,c)`
:math:`a+h` :math:`c+hf(a,c)` ...
:math:`a+2h` ...
...
:math:`b=a+nh` ??? ...
============== ================== ================
L'obiettivo è riempire tutti gli spazi vuoti della tavella, una riga alla
volta, finché si arriva al valore ???, che è il
metodo di approssimazione di Eulero per :math:`y(b)`.
L'idea per sistemi di ODE è simile.
**Esempio:** Si approssimi numericamente :math:`z(t)` a :math:`t=1` usando 4
passi del metodo di Eulero, dove :math:`z''+tz'+z=0`,
:math:`z(0)=1`, :math:`z'(0)=0`.
Si deve ridurre l'ODE di secondo ordine ad un sistema di due equazioni del primo
ordine (usando :math:`x=z`, :math:`y=z'`) ed applicare il metodo di
Eulero:
::
sage: t,x,y = PolynomialRing(RealField(10),3,"txy").gens()
sage: f = y; g = -x - y * t
sage: eulers_method_2x2(f,g, 0, 1, 0, 1/4, 1)
t x h*f(t,x,y) y h*g(t,x,y)
0 1 0.00 0 -0.25
1/4 1.0 -0.062 -0.25 -0.23
1/2 0.94 -0.12 -0.48 -0.17
3/4 0.82 -0.16 -0.66 -0.081
1 0.65 -0.18 -0.74 0.022
Pertanto, :math:`z(1)\approx 0.75`.
Si possono anche tracciare i punti :math:`(x,y)` per ottenere un grafico
approssimato della curva. La funzione ``eulers_method_2x2_plot`` svolge
questa funzione; per usarla, bisogna definire le funzioni *f* e
*g* che prendono on argomento con tre coordinate: (*t*, *x*,
*y*).
::
sage: f = lambda z: z[2] # f(t,x,y) = y
sage: g = lambda z: -sin(z[1]) # g(t,x,y) = -sin(x)
sage: P = eulers_method_2x2_plot(f,g, 0.0, 0.75, 0.0, 0.1, 1.0)
A questo punto, ``P`` ha in memoria due grafici: ``P[0]``, il grafico di *x*
vs. *t*, e ``P[1]``, il grafico di *y* vs. *t*. Si possono tracciare entrambi
come mostrato qui in seguito:
.. link
::
sage: show(P[0] + P[1])
(Per ulteriori informazioni sul disegno di grafici, si veda :ref:`section-plot`.)
Funzioni speciali
-----------------
Sono implementati diversi polinomi ortogonali e funzioni
speciali, usando sia PARI [GAP]_ che Maxima [Max]_. Essi
sono documentati nelle sezioni apposite ("Polinomi ortogonali"
e "Funzioni speciali", rispettivamente) del manuale di Sage.
::
sage: x = polygen(QQ, 'x')
sage: chebyshev_U(2,x)
4*x^2 - 1
sage: bessel_I(1,1,"pari",250)
0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096
sage: bessel_I(1,1)
0.565159103992485
sage: bessel_I(2,1.1,"maxima") # le ultime poche cifre sono casuali
0.16708949925104899
A questo punto, Sage ha soltanto incorporato queste funzioni per l'uso numerico.
Per l'uso simbolico, si usi direttamente l'intefaccia di Maxima, come
nell'esempio seguente:
::
sage: maxima.eval("f:bessel_y(v, w)")
'?%bessel_y(v,w)'
sage: maxima.eval("diff(f,w)")
'(?%bessel_y(v-1,w)-?%bessel_y(v+1,w))/2'
.. [GAP] (en) The GAP Group, ``GAP - Groups, Algorithms, and Programming``, http://www.gap-system.org
.. [Max] (en) Maxima, http://maxima.sf.net/
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